美国早期几何教材中的全等三角形判定定理

林佳乐

汪晓勤（华东师范大学数学系）

摘要:对19世纪末20世纪初的10本早期美国几何教材中的全等三角形判定定理的相关内容进行梳理，从全等三角形定义、判定定理的叙述、顺序、证明方法、定理的应用等几方面进行统计、归类、分析，主要目的是与今天的几何教材中相应内容做比较，找出与现行教材的异同点，希望能够对现行教材及教材编写者有一定的启示作用。

关键词：几何教材；全等三角形；判定定理

一、引言

近年来，有关不同国家数学教材比较研究的文献日益丰富，但已有研究大多关注现行教材。作者曾在国家社会科学基金“十一五”规划教育学重点课题“主要国家高中数学教材的比较研究”子课题九的研究过程中，深深体会到，要全面、深入地研究某个国家的数学教材，就需要了解该国的数学教育史。因此，早期美国几何教材进入了我们的视野。

全等三角形是平面几何的基础，在欧几里得《几何原本》中，第1卷命题4就安排了全等三角形判定定理，可见该知识点对于平面几何的重要性。那么，围绕全等三角形这一主题，早期美国几何教材呈现了哪些内容？与今天的教材有何异同？对今天教材的编写有何启示？为了回答上述问题，我们对19世纪末至20世纪初三十年间的10种美国中学几何教材进行了研究。

二、基本信息

10种早期几何教材中，教材4~6和教材10没有给出全等三角形的定义，教材1~3和教材7~9给出了定义，这些定义可分成两类。第1类为“全等图形”的定义（教材1）：若两个图形（三角形）的所有部分对应相等，则称这两个图形全等。第2类为“全等三角形”的定义（2，3，7，8，9）：若两个图形（三角形）所有部分对应重合，则称这两个图形全等。教材4，5，6，10未给出全等形的定义。

引入全等三角形判定定理的方式有三类：第1类为直接引入（教材1，2，4，5，6，8，9）；第2类为问题引入（教材3），即通过提出如何构造与已知三角形全等的图形的一系列问题引入；第3类为实验探究引入（教材7，10），即通过实验探究如何构造与已知三角形全等的三角形。

与《几何原本》一样，10种教材都给出了边角边、角边角和边边边定理。定理的顺序安排有两种：第1种顺序是《几何原本》中的顺序（教材1~6，9，10），即“边角边—角边角—边边边”；第2种顺序（教材7，8），即“角边角—边角边—边边边”。

此外，教材2中出现了“角角边”定理。还给出“边边角”定理：若两个三角形有两条边和其中一条边的对角分别相等，则另一条相等的边所对的角相等或互补。证明采用了叠合法。

作为特例，10种教材都给出了直角三角形全等的判定定理，包括直角三角形中边角边定理、角边角定理、角角边定理、HL定理。而对于HL定理的证明，教材1采用了叠合法，教材3，4，6，7，9，10则采用了叠合法+等腰三角形性质+角角边定理，教材5采用了叠合法+边边边定理证明。

三、边边边定理的证明

[1] 汪晓勤. 主要国家高中数学教材中的数学文化[J].中学数学月刊, 2011(4): 封4 。

[2] Bowser, E. A. The Elements of Plane and Solid Geometry[M]. New York: D. van Nostrand Company, 1890。

[3] Beman, W. W., Smith, D. E. New Plane & Solid Geometry[M]. Boston: Ginn & Company, 1899。

[4] Milne, W. J. Plane and Solid Geometry[M]. New York: American Book Company, 1899。

[5] Failor, I. N. Plane and Solid Geometry[M]. New York: The Century Co., 1906。

[6] Gore, J. H. Plane and Solid Geometry[M]. New York: Longmans, Green, and Co., 1908。

[7] Durell, F. Plane and Solid Geometry[M]. New York: Charles E. Merrills Co., 1911。

[8] Betz, W., Webb, H. E. Plane Geometry[M]. Boston: Ginn & Company, 1912。

[9] Hart, C. A. Feldman D. D. Plane and solid geometry[M]. New York: American Book Co., 1912。

[10] Wentworth, G. A., Smith, D. E. Plane and Solid Geometry[M]. Boston: Ginn & Company, 1913。

[11] Palmer, C. I., Taylor, D. P. Plane and Solid Geometry[M]. Chicago: Scott, Foresman and Company, 1919。

[12] National Education Association. Final report of the National Committee of Fifteen on geometry syllabus[J]. Mathematics Teacher, 1912, 5(2): 46-160。

英语说文解字plane

plane xinchi外语

plane英 [pleɪn] 美 [pleɪn]

n. 飞机；（几何学中的）平面；（物体的）平面；（穿过或连接物体的）虚构平面；（存在、思想或发展）水平；木工刨，刨子；悬铃木；翼面

adj. 平的，平坦的；二维平面的，二维空间的

v. 滑翔；擦着水面疾驶；刨平；刨除；<罕>乘飞机旅行

【名】 （Plane）（塞、瑞典、法）普拉内（人名）

[ 复数 planes 第三人称单数 planes 现在分词 planing 过去式 planed 过去分词 planed ]

网络释义专业释义英英释义

[航] 飞机

手机飞机时刻表查询软件的设计 关键词：J2ME；手机；飞机； 查询 [gap=1390]Keywords：J2ME；cell phone；airplane；query

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[数] 平面

刨

短语

Snakes on a Plane 空中蛇灾 ; 毒蛇吓机 ; 航班蛇患 ; 飞机上有蛇

rebate plane 子口刨 ; 槽口刨 ; 边刨 ; 窄槽木刨

plane wave [电子] [物] 平面波

Paper plane 纸飞机 ; 纸飞行机 ; 纸飞机大冒险 ; 生活随想

equatorial plane 赤道面 ; 赤道平面 ; 赤道板

Soul Plane 灵魂梦飞翔 ; 空前绝后满天飞 ; 冲上魂霄 ; 灵魂梦飞行

focal plane [光] [摄] 焦平面 ; 焦点平面 ; [光] 焦面 ; 回合平面

glide plane 滑动面 ; 滑移面 ; 滑移平面 ; 滑面

orbital plane 轨道平面 ; [天] 轨道面 ; 轨道面坐标系 ; 轨道面座标系

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柯林斯英汉双解大词典

plane /pleɪn/ CET4 TEM4 ( planing, planed, planes )

1. N-COUNT A plane is a vehicle with wings and one or more engines that can fly through the air. 飞机

例：He had plenty of time to catch his plane.

他有足够多的时间赶飞机。

例：Her mother was killed in a plane crash.

她的母亲死于一次飞机失事。

2. V to fly without moving wings or using engines; glide 滑翔; 滑行

3. N-COUNT A plane is a flat, level surface that may be sloping at a particular angle. (可能有坡度的) 平面例：...a building with angled planes.

…一幢外观有一定坡度的建筑物。

4. N-SING If a number of points are in the same plane, one line or one flat surface could pass through them all. 平面

例：All the planets orbit the Sun in roughly the same plane, around its equator.

所有行星基本在同一个平面上围绕太阳赤道运转。

5. ADJ level or flat 平的; 平坦的

6. N-COUNT A plane is a tool that has a flat bottom with a sharp blade in it. You move the plane over a piece of wood in order to remove thin pieces of its surface. 刨子

7. V-T If you plane a piece of wood, you make it smaller or smoother by using a plane. 刨

例：She watches him plane the surface of a walnut board.

她看着他刨一块胡桃木板。

8. N-COUNT A plane or a plane tree is the same as a sycamore. 悬铃木

词组短语同近义词同根词词语辨析

by plane 乘飞机

plane wave 平面波

focal plane 焦面，焦平面

plane strain 平面应变；平面变形

on a plane 在飞机上

更多词组短语

双语例句原声例句权威例句

They hurried on to the plane.

他们匆忙登上了飞机。

《牛津词典》

They have a small plane, right?

他们有一架小型飞机，对吧？

《柯林斯英汉双解大词典》

Sorry, the plane is overbooked.

对不起，飞机超额订出了。

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意思:n.飞机;平面;程度,水平vi.刨;乘飞机旅行;翱翔vt.刨平;用刨子刨;掠过水面adj.平的;平面的Itlooksliketheplanewillbelate....

plane意思:n.飞机;水平;平面n.刨子n.悬铃木adj.平的;飞机的一、读音:英[pleɪn];美[pleɪn]二、例句:Hehasplanedtheplanksmooth.他已把木板...

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planes[英][pleɪns][美][pleɪns]n.位面;水平(plane的名词复数);平面;飞机;木工刨;例句:1.Planesoftendon'talways...

你好!plane英[pleɪn]美[plen]n.平面;飞机;水平;木工刨;adj.平的,平坦的;vt.用刨刨平;小船等擦着水面疾驶;[例句]He...你好!plane...

plane的读音:英[pleɪn]美[pleɪn]n.飞机;水平;平面adj.平的;飞机的vi.(鸟、飞机)滑翔词汇搭配:1、动词+~:boardplane上飞机2、形容词...

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