A-level数学：三角函数的图形 Graphs of trigonometric functions

Graphs, symmetries and periodicities of sin, cos and tan sin、cos和tan的图形、对称性和周期性

The graphs of the three major functions are very important and you need to learn the characteristics of each.

三个主要函数的图形是非常重要的，你需要学习每个函数的特点。

The sine function 正弦函数

This graph is continuous (there are no breaks). 这个图形是连续的（没有中断）The range is -1 ≤ sin θ ≤ +1. 范围是-1 ≤ sin θ ≤ +1The shape of the graph from θ = 0 to θ = 2π is repeated every 2π radians. 从θ=0到θ=2π的图形形状每2π弧度重复一次。This is called a periodic or cyclic function and the width of the repeating pattern that is measured on the horizontal axis, is called the period . The sine wave has a period of 2π, a maximum value of +1, and a minimum value of -1. 这被称为周期性或循环性函数，在横轴上测量的重复图案的宽度被称为周期。正弦波的周期为2π，最大值为+1，最小值为-1。The greatest value of the sine wave is called the amplitude . 正弦波的最大值称为振幅。

The cosine function 余弦函数

This graph is continuous. 这个图形是连续的The range is -1 ≤ cos θ ≤ +1. 其范围是 -1 ≤ cos θ ≤ +1It has a period of 2π. 它的周期为2πThe shape is the same as the sine wave but displaced a distance of π ⁄ 2 to the left on the horizontal axis. This is called a phase shift . 其形状与正弦波相同，但在横轴上向左移了π ⁄ 2的距离。这被称为相移。

The tan function 正切函数

The tan function is found using 正切函数的求法是用:

It therefore follows that tan θ = 0, when sin θ = 0, and tan θ is undefined when cos θ = 0. 因此可以看出，当sin θ=0时，tan θ=0，当cos θ=0时，tan θ未定义。

1. This graph is continuous, but is undefined when 这个图形是连续的，但在以下情况下是未定义的

2. The range of values for tan θ is unlimited. tan θ的取值范围是无限的。

3. It has a period of π. 它的周期为π

All of the three functions periodically repeat their values and the simplest way to learn this, is to make sure that you understand the general rules below which use 'n' to represent any integer (i.e. any whole number, both positive and negative).

所有这三个函数都会定期重复它们的值，学习这个的最简单方法是确保你理解下面的一般规则，用'n'来代表任何整数（即任何整数，包括正数和负数）。

(Remember: nπ means "every 180 degrees", and 2nπ means "every 360 degrees".)

(记住：nπ表示 "每180度"，而2nπ表示 "每360度"）。

Sin curves

sin θ = 0    when    θ = nπ

sin θ = 1    when    θ = 2nπ + π ⁄ 2

sin θ = −1   when    θ = 2nπ − π ⁄ 2

Cos curves

cos θ = 0    when    θ = 2nπ

cos θ = 1    when    θ = (2n + 1) π ⁄ 2

cos θ = −1   when    θ = (2n + 1) π

Tan curves

tan θ = 0    when    θ = nπ

tan θ = ± ∞   when    θ = (2n + 1) π ⁄ 2

Solutions of trigonometric equations 三角形方程的解决方案

A trigonometric equation contains at least one trigonometric function, and when asked to solve the equation we must find the angle(s) for which it is valid.

一个三角方程至少包含一个三角函数，当被要求解决这个方程时，我们必须找到方程有效的角度（s）。

We are normally required to find particular values of θ in a given interval.

我们通常被要求在一个给定的区间内找到θ的特定值。

Example:

Solve the equation cos θ = 0, for −π ≤ θ ≤ +π. 求解方程cos θ = 0, -π ≤ θ ≤ +π.

The finite solution set is θ = − π ⁄ 2 and π ⁄ 2. 有限的解集是θ=-π ⁄2，π ⁄2。

There are two methods to find the solution of a trigonometric equation 有两种方法可以找到三角方程的解:

Use the graph of the trigonometric functions. 使用三角函数的图形 Use the four quadrants of the coordinate grid. 使用坐标网格的四个象限

The first step in both cases is to find the principal value, (or PV of θ which is the value you get from the calculator).

在这两种情况下，第一步是找到主值，（或者说是θ的PV，这是你从计算器得到的值）。

Principal values for sin, cos and tan sin、cos和tan的主要数值

Principal values for sin θ sin θ的 主要数值

Any equation for sin θ = S for the domain 任何领域的sin θ = S的方程

has one solution in this interval called the principal value of θ. 在这个区间有一个解，叫做θ的主值。

It is in the first or fourth quadrant. 它位于第一象限或第四象限。

The range is shown in the diagram. 其范围如图所示。

Principal values for cos θ cos θ的主要数值

Any equation cos θ = C for the domain [0, π], has one solution in this interval called the principal value of θ.对于域[0, π]的任何方程cos θ = C，在这个区间有一个解，称为θ的主值。

It is in the first or second quadrant. 它位于第一象限或第二象限。

The range is shown in the diagram. 其范围如图所示。

Principal values for tan θ tan θ的主要数值

All the possible values for tan θ = T occur in the interval tan θ = T的所有可能值都出现在区间内

The one solution in this interval called the principal value of θ. 这个区间内的一个解决方案称为θ的主值。

It is in the first or fourth quadrant. 它位于第一象限或第四象限。

The range is shown in the diagram. 其范围如图所示。

Secondary values of sin, cos and tan sin、cos和tan的次要数值

Each trig. function has two solutions in a 360° or 2π interval. The first solution is the principal value, the other solution is called the secondary value , (SV) , and lies in a different quadrant.

每个三角函数在3600或2π的区间内有两个解。第一个解是主值，另一个解被称为次值（SV），位于不同的象限内。

This can be found by drawing the graph or using the four quadrants of the coordinate grid as follows.

这可以通过画图或使用坐标网格的四个象限来找到，方法如下

Solve tan θ = 2, −π ≤ θ ≤ +π 解决tan θ = 2，-π ≤ θ ≤ +π

The first solution, (or principal value) is found using the calculator.

第一个解决方案，（或主值）是用计算器找到的。

θ = 1.11 (3 sf)

The second solution, (or secondary value), is found using the fact that tan is also positive in the third quadrant (it repeats every θ radians).

第二个解决方案（或次要值）是利用tan在第三象限也是正值的事实（它每隔θ弧度重复一次）找到的。

θ = π + 1.11 = 4.25 (3 sf)

General Solutions of Trigonometric Equations 三角形方程的一般解

A general solution refers to all angles that satisfy the equation. So, it is an infinite set of angles. This is the same as before but we have to remember the period of the graph to list the rest of the solutions.

一般解决方案是指满足方程的所有角度。因此，它是一个无限的角度集合。这和以前一样，但我们必须记住图形的周期来列出其余的解。

As sin and cos repeat every 360° or 2π radians we 由于sin和cos每隔360°或2π弧度重复一次，我们:

Find the two solutions in the initial range, (e.g. −π ≤ θ ≤ +π) 找到初始范围内的两个解，（例如-π≤θ≤+π）Add 360n or 2nπ to both of these 将这两个解加上360n或2nπ

As tan repeats every 180° or π radians we 由于tan每隔180°或π弧度就会重复一次，所以我们:

Find the first solution (PV) initial range, (e.g. −π ≤ θ ≤ +π) 找到第一个解决方案（PV）的初始范围，（例如：-π ≤ θ ≤ +π）Add 180n or nπ

This can be summarised as 这可以归纳为:

For sin θ = S (where |S| ≤ 1), the general solution is 对于sin θ = S（其中|S| ≤ 1），一般的解是

θ = PV + 2nπ

or

θ = PV + 360°

θ = SV + 2nπ

θ = SV + 360°

For cos θ = C, the general solution is 对于cos θ = C，一般解决方案是

θ = ± PV + 2nπ

or

θ = ± PV + 360°

For tan θ = T, the general solution is 对于tan θ = T，一般解决方案是

θ = PV + nπ

or

θ = PV + 180°

The graphs of trigonometric functions of compound angles 复角的三角函数的图形

The graph of the function sin cθ where c is a constant, is a sine wave with a period of 2π ⁄ c. The frequency is c times that of sin θ. This is shown in the diagram below 函数sin cθ的图形，其中c是一个常数，是一个周期为2π ⁄ c的正弦波，其频率是sin θ的c倍:

This rule is also true for cos θ, and tan θ. 这一规则对于cos θ和tan θ也是如此

This means that when solving trigonometric equations with a multiple of θ, there will be a different number of solutions in a 360° range. In these situations find the two initial solutions, make the general set of solutions, and then rearrange to find θ.

这意味着，当求解θ的倍数的三角方程时，在360°范围内会有不同数量的解。在这些情况下，找到两个初始解，做出一般的解集，然后重新排列，找到θ。

Example:

Solve cos (3θ + 45) = −0.5 解出cos (3θ + 45) = -0.5

(3θ + 45) = −120 (from calculator) and,

(3θ + 45) = 120 (cos is negative in the second and third quadrants) (cos在第二和第三象限是负的)

Therefore, (3θ + 45) = −120 ± 360n and (3θ + 45) = 120 ± 360n.

Therefore, θ = −55 ± 120n , and θ = 25 ± 120n

A final hint . Watch out for trigonometric equations that are quadratics .

最后一个提示。留意那些四边形的三角方程。Example:

2 sin2 θ + sin θ − 1 = 0

This has to be factorised and then solved. 这必须先进行因式分解，然后再求解。

(2 sin θ − 1) (sin θ + 1) = 0, where 0 ≤ θ ≤ 360

sin θ = 0.5 or sin θ = -1 and solve as before to get,

θ = 30, 150, or 270. (See if you can get these solutions.)

每天睡12个小时都睡不够，是因为缺少维生素D？看完你就知道了！

最近，有网友发帖称自己“总是睡不够，工作日睡觉 8 小时，周末睡觉 12 小时都睡不饱”，因为看到有人说“可能是缺维生素D”，就去医院查了下，结果 25- 羟维生素D[25(OH)D] 的全测结果只有 5.52ng/mL（正常情况下，体内维生素D 充足为 25(OH)D≥20ng/mL）。

缺乏维生素D会导致睡不够吗？

图片来源：某社交平台

01

维生素D有什么作用？

首先我们来说说维生素D 是什么。

维生素D 是一类脂溶性维生素，对人体的主要作用是促进食物中的钙在肠道的吸收，有利于骨健康。此外，维生素D 还调节体内的许多其他细胞功能。

《中国居民膳食营养素参考摄入量》当中明确建议，0～64岁的人群，每天需要摄入400IU的维生素D（IU是国际单位，400IU维生素D为0.01毫克）。

我们去医院检查的时候，通常是检查血液中的 25-羟维生素D[25(OH)D]水平。

根据中华人民共和国卫生行业标准（WS/T）《人群维生素D缺乏筛查方法》的规定，当血液中 25(OH)D 水平大于 20ng/L 时，表明维生素D 的营养状况是正常的，低于 12ng/L 时即为缺乏。

《人群维生素D缺乏筛查方法》

维生素 D 缺乏，最大的问题的会导致骨质疏松。文章开头这位网友平常会“腿抽筋”，可能就是跟维生素 D 缺乏有关。

但，维生素 D 缺乏会导致睡眠问题吗？

02

总是“睡不够”

是缺乏维生素D 吗？

对于这类“永远都睡不饱星人”，他们的睡眠很有可能是“非恢复性睡眠 (nonrestorative sleep，NRS)”。

1987年，美国精神病学协会首次将“非恢复性睡眠”也列为一种失眠症状，它被描述为睡眠不安、睡觉轻或者睡眠质量差的感觉，即使睡眠的持续时间可能看起来正常。

导致非恢复性睡眠的原因很复杂：有心理因素，如情绪障碍等；也有生活习惯因素，包括酒精、烟草和咖啡因的摄入，以及与睡眠卫生不良习惯相关的其他几种行为。但并没有明确的证据显示缺乏维生素 D 是“睡不够”的主要原因。

至于其他类型的失眠症状，确实有一些研究发现，维生素 D 缺乏与失眠、睡眠质量不好有一些关系。比如，就有研究发现，慢性失眠患者血清维生素 D 水平明显低于健康人群。不过，这些研究结果并不一致。

2021 年，挪威一项临床的随机对照研究对 189 名维生素 D 不足人群进行了 4 个月的维生素 D 补充，结果发现，补充维生素 D 对改善睡眠水平并没有产生显著的影响。

2022 年，一项系统综述和荟萃分析研究了维生素 D 补充对睡眠质量的影响，一共纳入 19 项研究，其中含 13 项随机对照研究，结果发现，与安慰剂组相比，维生素 D 补充与睡眠指数下降存在一定关联，但证据等级只是中等。而且，维生素 D 补充与睡眠困难和障碍的影响结果并不一致。研究者因此认为，维生素 D 补充对睡眠的影响还需要进一步研究。

总体来说，尽管维生素 D 缺乏与睡眠障碍有一定的关联，但补充维生素 D 对预防或治疗睡眠障碍并没有直接的作用。

03

如何改善睡眠？

影响睡眠的因素很多很复杂，如果从饮食与生活方式来说，建议从以下几个方面做起：

1.日常饮食注意食物多样化，均衡营养。研究发现，均衡的饮食和营养对于整体的健康有好处，也有助于我们睡个好觉。

2.晚餐清淡点，不要吃太多辛辣刺激性食物。研究发现，油、盐、脂肪摄入过多、蔬菜吃太少，容易导致失眠。而太辣会增加肠胃刺激，也会影响睡眠。

3.不要太晚吃东西。太晚吃，尤其是临近睡觉了，食物都没有完全消化，胃还是撑着的，还要继续活动来消化食物，对睡眠是不利的，建议睡觉前的三个小时内最好不要吃东西了。

4.不要饿着肚子睡觉。饿着也是睡不好的，如果睡前觉得饿，可以吃点淀粉为主的食物，例如燕麦粥，小米粥等。

5.睡前避免剧烈运动。适当的睡前运动可以减少浅睡眠、增加深睡眠，保证睡眠连续性、提高睡眠效率，也就是更容易一觉睡到天明。但需要注意不要过于剧烈。

6.睡前不要喝太多水。喝水太多容易起来跑厕所，势必会影响睡眠。

7.睡前别抽烟、喝酒、吃含咖啡因的食物。喝酒会影响睡眠质量，而抽烟只会让你越来越兴奋，更睡不着了。有些人对咖啡因比较敏感，如果想要好的睡眠，最好注意避免含咖啡因的食物和饮料，比如咖啡、茶、奶茶、可乐、巧克力，以及含瓜纳拉提取物、巴拉圭茶提取物的食品和饮料，它们也含有咖啡因。

8.睡前洗个热水澡、关灯、远离手机等电子屏幕、少打游戏少刷剧。这些都能帮助你入睡。

04

如何补充维生素D？

虽然补充维生素 D 对改善睡眠问题没有直接作用，但它对人体的健康依然十分重要。

人类获得维生素 D 主要有两大途径：一是皮肤经阳光中的紫外线照射，自身转化生成维生素 D₃；二是由摄取食物获得，动物性食物富含维生素 D，如奶制品、三文鱼、鲭鱼和沙丁鱼等。

想要获得维生素 D，要注意多进行户外活动。选择紫外线不强的时候，在阳光下晒 10～20 分钟左右即可；另外也可以多吃富含维生素 D 的食物，如奶制品、三文鱼、鲭鱼和沙丁鱼等。

如果实在担心不足，也可以吃点维生素 D 的补充剂。摄入维生素 D 补充剂，通常是益大于弊的。

参考文献：

[1]Roth T, Zammit G, Lankford A, Mayleben D, Stern T, Pitman V, Clark D,Werth JL. Nonrestorative sleep as a distinct component of insomnia. Sleep. 2010 Apr;33(4):449-58. doi: 10.1093/sleep/33.4.449. PMID: 20394313; PMCID: PMC2849783.

[2]刘亚平,潘集阳.非恢复性睡眠的研究现状[J].实用医学杂志,2012,28(07):1208-1210.

[3]《精神障碍诊断与统计手册（第四版）》

[4]Ohayon MM. Prevalence and Correlates of Nonrestorative Sleep Complaints. Arch Intern Med. 2005;165(1):35–41. doi:10.1001/archinte.165.1.35

[5]Vitamin D.Fact Sheet for Health Professionals.NIH

[6]Holick MF. Vitamin D deficiency. N Engl J Med. 2007 Jul 19;357(3):266-81. doi: 10.1056/NEJMra070553. PMID: 17634462.

[7]WS/T 677—2020人群维生素 D 缺乏筛查方法.

[8]张赛,郝永慈,顾平. 慢性失眠患者血清维生素D水平与睡眠质量、情绪的关系[C]//中国睡眠研究会.中国睡眠研究会第十四届全国学术年会论文汇编.[出版者不详],2022:320.DOI:10.26914/c.cnkihy.2022.025687.

[9]王朝亚,王烈成,徐胜春. 睡眠障碍与维生素D水平相关性的Meta分析[J]. 中国全科医学, 2019, 22(8): 954-959. DOI: 10.12114/j.issn.1007-9572.2018.00.160.

[10]Romano F, Muscogiuri G, Di Benedetto E, Zhukouskaya VV, Barrea L, Savastano S, Colao A, Di Somma C. Vitamin D and Sleep Regulation: Is there a Role for Vitamin D? Curr Pharm Des. 2020;26(21):2492-2496. doi: 10.2174/1381612826666200310145935. PMID: 32156230.

[11]Larsen AU,Hopstock LA, Jorde R, Grimnes G. No improvement of sleep from vitamin D supplementation: insights from a randomized controlled trial. Sleep Med X. 2021 Oct 19;3:100040. doi: 10.1016/j.sleepx.2021.100040. PMID: 34881361; PMCID: PMC8567000.

[12]Abboud M. Vitamin D Supplementation and Sleep: A Systematic Review and Meta-Analysis of Intervention Studies. Nutrients. 2022 Mar 3;14(5):1076. doi: 10.3390/nu14051076. PMID: 35268051; PMCID: PMC8912284.

[13]Zhao M, Tuo H, Wang S, Zhao L. The Effects of Dietary Nutrition on Sleep and Sleep Disorders. Mediators Inflamm. 2020 Jun 25;2020:3142874. doi: 10.1155/2020/3142874. PMID: 32684833; PMCID: PMC7334763.

[14]NHS. 10 tips to beat insomnia

[15]WebMD. What You Eat Can Sabotage Your Sleep.

[16]Cheng FW, et al.Probable insomnia is associated with future total energy intake and dietquality in men. 2016 Aug;104(2):462-9. doi: 10.3945/ajcn.116.131060.

[17]Peuhkuri K, Sihvola N, Korpela R.Diet promotes sleep duration and quality. Nutr Res. 2012 May;32(5):309-19. doi: 10.1016/j.nutres.2012.03.009.

[18]St-Onge MP, Mikic A, Pietrolungo CE.Effects of Diet on SleepQuality. Adv Nutr. 2016 Sep 15;7(5):938-49. doi: 10.3945/an.116.012336.

[19]National Sleep Foundation .What to do When You Can't Sleep

[20]Sleep Disorders: In Depth. From the National Institutes of Health (National Center for Complementary and Integrative Health)

转载自：科普中国

作者：阮光锋

科信食品与健康信息交流中心副主任

责编：咕噜

来源： 蝌蚪五线谱

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