线性代数重要，选对教材更重要：同济版《线性代数》引发激烈争议

机器之心报道

你的线性代数，过了没？

不论是结构力学还是人脸识别，理工类型的科研，深究之后就会发现到处都是线性代数的身影。这样一门课程，要是在大一的时候学不好，可是会要命的。

在国内上过大学的理科同学应该都见过《线性代数》（同济版），就算没有学过，也是听过它的大名。作为一名过来人，只能说，晦涩难懂，章节混杂... 即使不少 985、211 走过高考独木桥的学生，每到期末考试，也要默默祈祷不要挂科。现在想起一些内容：相似矩阵、线性变换、特征值、特征向量…… 真是一个头两个大。

作为一本大学教材，让学习者如此后怕，是该考虑一下教材问题了。如今已经毕业多年，没想到最近在知乎上看到一篇文章《《线性代数》（同济版）——教科书中的耻辱柱》，点赞量快突破五千。对于这篇文章，大家有时间可以读一下，看看是不是同意作者的观点。

线性代数真的很重要，这是很多工程技术人员走上工作岗位的最大感受。好多算法都用到线性代数的知识，就比如现在非常热门的深度学习，它的底层实现方式用到好多线性代数方面的知识。如果底层基础打不好，不明白其中的原理，算法实现方式真的很难理解，更不可能去创新了。好的教材才能起到事半功倍的效果。

目前这本教材已更新了好几版，每次更新的内容看起来也是无关紧要，如果有下次版本更新，还是希望制定教材的老师们听取一下广大学生的建议。

同济版《线性代数》何以引发众怒？

一直以来，同济版《线性代数》都是一本颇有争议的教材，它在知乎上的风评基本都是这个画风：

很多同学吐槽这本教材结构不合理、内容抽象（甚至让抽象的东西变得更抽象），整本学下来很难有什么收获，还可能会丧失对于数学学习的兴趣。

以下是对于这些观点的简单总结：

结构编排不合理

很多发帖的同学都指出，同济版《线性代数》最大的问题就是「结构混乱」，第一章就从「行列式」开始讲。对于没有学过线性代数基本概念的大一同学来讲，这种毫无铺垫的引入方式让很多同学无法接受。

「兄弟，我们是线性代数课，你不先介绍一下什么叫线性，什么叫代数吗？起手就是 n 阶行列式的定义，实力劝退。」——知乎用户 @清雨影

当然，指出这个问题同学不在少数。在其他关于线性代数的帖子中，我们也发现了关于该书「行列式」编排的吐槽。一位名叫 @李佳繁的知乎用户发帖表示：「行列式的定义给的很早难道不会让你感到很突兀和很没有必要么？！而且行列式是线性代数中几乎最为重要的概念之一，一上来就只是用数学语言给他了一个规定，在学线性代数的初期，能体会到什么？」

还有同学指出，这个问题并不是同济版《线性代数》所特有的，而是国内线代教材的通病。

在第一章讲完行列式之后，该书随后介绍了矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换几个章节。

除了行列式出现在第一章，其余的编排不合理之处还包括：

1. 逆序数出现过早；

2. 先讲矩阵再讲向量；

3. 线性空间放到后面作为选学；

……

总之，这本书的编排顺序让很多同学摸不着头脑，学完之后也没有留下深刻的印象，甚至从此失去了对于线代学习的兴趣。

长得抽象，教材内容也抽象

除了结构编排的问题之外，「内容抽象」也是这本教材被吐槽的最多的点。

线性代数本身就是一门比较抽象的学科，因此，教材或教师理应通过各种方法帮助学生理解书中的抽象概念，比如运用图解的形式。但很多同学反映，书中的图解着实少得可怜，甚至「翻遍了全书，只有三个向量图解」（引自知乎用户 @Akiyama Mio）。

还有同学指出，很多概念的引入也是莫名其妙，没有具体的例子作为支撑，所以很多同学学完之后都不知道自己学的东西有什么用。

这本《线性代数》教材真的一无是处吗？有人持相反意见。这部分人认为，每本教材其实都有一定的适用人群，而且看书不一定要遵循书本的编排规律。

还有老师在评论区给出了这本书的原因：节省课时，能够满足考研需要。

想打下坚实数学基础，清华学生是这样学的

所以，既然线性代数这样学效率有点低，我们应该用什么姿势学习呢？

其实人们一直都在思考这个问题。去年，清华大学将「线性代数」科目的课本改成英文教材就引发了人们的热议。据介绍，该校改用了麻省理工学院（MIT）数学系教授 Gilbert Strang 的《Introduction to Linear Algebra》，效果怎样或许一时无法量化，但看起来蛮受欢迎的。

在 B 站上，Strang 老爷子总共 27 个多小时的「线性代数 MIT 18.06」课程也已达到了 73 万的播放量（其中一个资源的数据），可以说是 B 站最火的英文《线性代数》课程了。当然这门课程在国外也是 MIT 最热门的课程之一。根据 OCW 官网统计的数据，自 2002 年第一次发布以来，该课程的总访问量已经超过 1000 万。

为什么他的教材、课程那么受欢迎？从人们的评论中，我们可以总结出几个关键词：

1. 实用、难度适中。 知乎上有个帖子专门讨论 Gilbert Strang 的线性代数教材《Introduction to Linear Algebra》。有人表示，「Strang 的教材更加面向实际应用，难度适中，比较注重从实际问题中培养数学直觉，比较适合工程学科学生使用。」

这点相对于国内一些教材区别很大。我们通常接触到的课本一般是先给出定义，然后是定理和证明方法，很容易让非数学专业的学生失去兴趣。而 Strang 教授的教材则是「先告诉你一些有意思的数学事实，之后告诉你我们怎么解决那些问题之中较为简单的（有一部分方法甚至是依靠尝试和数学直觉），再和你一起探究这么解决为什么对，是否存在理论基础，留一些习题让你自己去试试它真的是对的，最后再做其他的深入探究，并提炼为定理。」（引自知乎用户 @李佳繁）

2. 化抽象为具体。 对于数学基础不好的人来说，「线性代数」真的是一门非常抽象的课程。但从大家对 Strang 教授《线性代数》教材的评价来看，比较一致的观感是「不是很抽象」，甚至可以 「和高中对接」。Strang 教授对线性代数的讲解过程中会插入很多例子，能让学生结合例子理解一些抽象的概念，对非数学专业的学生非常友好。有同学表示，「感觉很多概念不再是死记硬背了」。

此外，整个课程的逻辑也是循循善诱式的，它「不是上来告诉你这样做是对的，而是一步步引导你让你理解就应该是这样子。」

Strang 教授 1934 年生于芝加哥，在加州大学洛杉矶分校取得博士学位，从 1962 年起就开始担任麻省理工学院的数学系教授，一辈子都在教书育人、笔耕不辍。去年初，他还出版了一本新书《Linear Algebra and Learning from Data》。

今年在新冠疫情期间，全球大多数地区的学生都无法前去教室上课，已年满 85 岁的 Strang 教授又把自己的线性代数课程视频更新了一版。

如果对于英文教学不太感冒，有人表示蓝以中的《高等代数简明教程》、丘维声的《简明线性代数》也是不错的选择。

如果你在自己学习线性代数时有些迷惑，根据课程视频整理自己的思路可能是效率最高的选择。

参考链接：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/199665495?utm_source

https://www.zhihu.com/question/265908739?utm_source

数字电路--逻辑代数的基本运算定律

逻辑代数的基本定律可以用真值表证明：

分别列出等式两边的真值表，如果等式两边对于变量的可能取值所得的结果相符，就证明该公式是正确的。

如：证明

A + B · C = (A + B) · (A + C) 成立

逻辑代数中的基本公式只反映了变量之间的逻辑关系，而不是数量之间的关系。在运算中不能把初等代数的其他运算规律套用到逻辑代数中。例如，等式两边不允许移项，因为逻辑代数中没有减法和除法。在进行逻辑运算时，按先算括号、再算乘积、最后算加法的顺序进行，与普通代数是一样的。

最简的与或表达式的条件：在不改变逻辑关系的情况下，首先乘积项的个数最少，在此前提下，其次是每一个乘积项中变量的个数最少。

逻辑函数的化简方法 l 代数化简法 l 卡诺图化简法

2．卡诺图化简法

卡诺图—将真值表按一定的规则转换成相应变量的方格图

最小项—在一个有n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。

（1）卡诺图的画法

由卡诺图可以看到，任何两个相邻小方格中的最小项仅有一个变量不同。因而卡诺图边框的变量取值的填法，每次只改变一个变量的值以实现相邻的最小项只有一个变量不同。

2) 由逻辑表达式画卡诺图

与或式→每个乘积项所包含的最小项填“1”，其余的填“0”

相关问答

[最佳回答]用\'表示非号,如B\'即非B\r\n15.F=AB\'+BD+CDE+A\'D\r\n=(AB\'+AB\'D)+(A+A\')BD+CDE...

[最佳回答]在逻辑表达式里有参加逻辑运算的逻辑量及逻辑运算最后的结果(逻辑值),把这二个概念区分开来和记住它们是很重要的.什么是逻辑量--凡是参加逻辑运算...

正确

[最佳回答]布尔代数:[Aand(Bnot)]or[(Anot)andB]not](左式表示“异或非”)=[(Anot)orB]and[Aor(Bnot)]...

逻辑代数是按照一定的逻辑规则进行逻辑运算的代数,是分析数字电路的数学工具。对应于逻辑与、逻辑或和逻辑非三种基本逻辑关系,逻辑代数的基本逻辑运算有三种:...

与运算、或运算和非运算。1.与运算(AND):也叫交运算,用符号“∧”表示,当两个命题都为真时,结果才为真,否则为假。例如,命题P∧Q表示“P和Q同时成立”...与...

两个nmos串联相当于一个逻辑与门。当两个nmos管串联时,如果两者都是导通的,那么整个串联部分才会导通,否则就不会导通。这和逻辑与门的功能类似,只有当所有...

[最佳回答]1,输出取样电路,基准电压、比较放大电路和调整管.2,与、或、非3,卡诺图,真值表,逻辑表达式,逻辑电路图和忘了4,0和1,或高电平和低电平51,输出取样...

布尔逻辑是一种逻辑的代数系统,在电子学、计算机硬件和软件中有很多应用。布尔逻辑得名于GeorgeBoole,他是考克大学(现爱尔兰国立考克大学)的英国数学家,...

同或门的逻辑功能是在异或门的输出端再加上一个非门就构成了异或非门,是数字逻辑电路的基本单元,逻辑运算,又称布尔运算。布尔用数学方法研究逻辑问题,成功地...